Логические основы работы компьютера

3.11. Что такое переключательная схема

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются
электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле,
выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что
здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и
разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую
переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае,
когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель
разомкнут, то х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и связаны
таким образом, что когда Х замкнут, то
разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в
соответствие логическая переменная х, то переключателю должна
соответствовать переменная .

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую
переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не
проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем
переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a)  

Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно
F=1; 

б)  

Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно
F=0; 

в)  

Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х
разомкнут, следовательно, F(x) = x; 

г)  

Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда
х замкнут, следовательно, F(x) = ; 

д)  

Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно,
F(x) = x . y; 

е)  

Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут,
следовательно, F(x)=x v y; 

ж)  

Схема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией . 

Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале). Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень
важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И

Журавлев,
С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи:
синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём
этапам:

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти
   условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах
   входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.

Примеры.

1. Построим схему, содержащую 4 переключателя
x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут
контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.

Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы
истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид F(x, y, z, t) =
t . (x v y v z), а схема выглядит так:

2. Построим схему с пятью переключателями,
которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из
этих переключателей.

Схема имеет вид:

3. Найдем функцию проводимости схемы:

Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых
переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a,
e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция
проводимости F(a, b, c, d, e) = a . b   v   a .
e . d   v   c . d   v   c .
e . b.

4. Упростим переключательные схемы:

а)  

Решение:   

Упрощенная схема:

б)  

.

Здесь первое логическое слагаемое является
отрицанием второго логического слагаемого , а
дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.

Упрощенная схема :

в)  

Упрощенная схема:

г)  

Упрощенная схема:

д)  

(по
закону склеивания)

Упрощенная схема:

е)  

Решение:

Упрощенная схема:

Математика и электроника

В настоящее время люди умеют считать гораздо лучше, чем в прошлом: у них есть замечательные помощники — умные вычислительные машины. Сегодня вычисления ведутся в сотни тысяч раз быстрее, чем сто лет назад. Как удалось достигнуть этого? Разработчики электронной и компьютерной техники, говорят, что этого достигли тем, что стали считать по другому. Не обязательно считать десятками, сотнями и тысячами ответят они.

Давно известны не десятичные системы счисления, например, система счисления с основанием 12. В роли «десятка» (единицы 2-го разряда) в ней выступает «дюжина», в роли «сотни» (единицы 3-го разряда) — «гросс» (дюжина в квадрате), а единицу четвёртого разряда называют «фут» (дюжина в кубе).

Но в мире цифровой электроники наиболее привлекательными оказались системы счисления с основанием 2, 8 и 16, то есть двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Наиболее используемая система счисления — это конечно же двоичная. Для этого имеется ряд оснований.

Всякое цифровое устройство должно уметь «читать», «запоминать» и «демонстрировать» цифры и числа, составленные из них. В двоичной системе счисления цифр всего две: 0 и 1.

Легко придумать способ демонстрации двоичных чисел. Двоичное число, например 1001₂, можно записать при помощи гирлянды электрических лампочек: зажжённая лампочка обозначает «1», а не зажжённая — «0». Так изображенное число легко прочитать.

В цифровое устройство двоичное число можно вводить по проводникам электрического тока, например, 5 вольт значит, что демонстрируется «1», а если напряжение равно нулю, то демонстрируется «0».

Для запоминания двоичных чисел используются различные электрические и физические свойства с ярко выраженными двумя состояниями (например, в жёстких дисках используется эффект намагниченности отдельных участков, в оптических дисках — различие в отражающей способности или же на триггерном эффекте когда сама электронная схема хранит информацию).

Второе важное основание для использования двоичной системы — простота двоичной арифметики. Например, таблица сложения будет выглядеть следующим образом:

+	1
1
1	1	10

и таблица умножения

х	1
1	1

Что такое логические элементы

Логические элементы представляют собой устройства, которые могут быть реализованы на электронной полупроводниковой базе. Они выполняют некоторую логическую функцию преобразования входного сигнала. На нескольких простых логических элементах можно построить сколь угодно много сложных устройств, например регистров, сумматоров, счетчиков импульсов.

Для описания работы различных электронных устройств удобно использовать элементы алгебры логики, которая, как известно, работает с переменными, принимающими только два значения 1 и 0, то есть включено или выключено.

Определение количества логических элементов, которые можно построить на базе двоичной логики, выполняется по формуле 24, то есть составляет 16.

3.7. Что такое сумматор

Сумматор — это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического
устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах
машины.

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения
многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных
сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнём. Условное обозначение
одноразрядного сумматора на рис. 3.8.

Рис. 3.8.

При сложении чисел A и B в одном i-ом разряде приходится иметь дело с
тремя цифрами:

1. цифра a_i первого
слагаемого;

2. цифра b_i второго
слагаемого;

3. перенос p_i–1 из младшего
разряда.

В результате сложения получаются две цифры:

1. цифра c_i для суммы;

2. перенос p_i из данного
разряда в старший.

Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя
входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей
таблицей истинности:

Входы	Выходы
Первое слагаемое	Второе слагаемое	Перенос	Сумма	Перенос
1	1
1	1
1	1	1
1	1
1	1	1
1	1	1
1	1	1	1	1

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно
использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём для двух
соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для
другого.

Например, схема вычисления суммы C = (с₃ c₂
c₁ c) двух двоичных трехразрядных чисел A =
(a₂ a₁ a) и B = (b₂ b₁
b) может иметь вид:

Элементарные логические элементы

Основными логическими элементами являются И, ИЛИ, НЕ. Все остальные элементы строятся на базе них.

Рис. 1. Графическое изображение элементов И, ИЛИ, НЕ

Инверсия (НЕ)

Инверсия представляет собой унарную операцию, то есть элемент с одним входом. Логический элемент НЕ реализует логическое отрицание. Если на вход этого элемента подается сигнал 1, то на выходе будет получено 0.

Таблица истинности для данного элемента имеет вид:

А	НЕ(А)
1
1

Конъюнкция (И)

Логический элемент И является бинарным и выполняет логическое умножение. Результат конъюнкции равен 1 только в том случае, когда на входы данного элемента подаются две единицы. Во всех остальных случаях результат конъюнкции равен нулю.

Таблица истинности для конъюнкции

А	В	А & В
1
1
1	1	1

Дизъюнкция (ИЛИ)

Бинарный логический элемент ИЛИ реализует операцию логического сложения. Результат этой операции равен нулю в том случае, когда на входы дизъюнкции подаются нули. В остальных случаях результат всегда равен единице.

Таблица истинности для логического ИЛИ

А	В	А + В
1	1
1	1
1	1	1

Микросхемы ТТЛШ

Микросхемы ТТЛШ серии К555 характеризуются следующими параметрами:

• напряжение питания +5 В;
• выходное напряжение низкого уровня — не более 0,4 В;
• выходное напряжение высокого уровня — не менее 2,5 В;
• помехоустойчивость — не менее 0,3 В;
• среднее время задержки распространения сигнала — 20 нс;
• максимальная рабочая частота — 25 МГц.

Васильев Дмитрий Петрович

Профессор электротехники СПбГПУ

Задать вопрос

Микросхемы ТТЛШ обычно совместимы по логическим уровням, помехоустойчивости и напряжению питания с микросхемами ТТЛ. Время задержки распространения сигнала элементов ТТЛШ в среднем в два раза меньше по сравнению с аналогичными элементами ТТЛ.

Что такое логические элементы

Логические элементы представляют собой устройства, которые могут быть реализованы на электронной полупроводниковой базе. Они выполняют некоторую логическую функцию преобразования входного сигнала. На нескольких простых логических элементах можно построить сколь угодно много сложных устройств, например регистров, сумматоров, счетчиков импульсов.

Для описания работы различных электронных устройств удобно использовать элементы алгебры логики, которая, как известно, работает с переменными, принимающими только два значения 1 и 0, то есть включено или выключено.

Определение количества логических элементов, которые можно построить на базе двоичной логики, выполняется по формуле 24, то есть составляет 16.

3.2. Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как
функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой
счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а
значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Из этого следует два вывода:

1. одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и
   хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления,
   так и логических переменных;
2. на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет
   значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем
   компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических
   элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Операции над числами

Как уже упоминалось выше цифровые устройства должно иметь возможность считывать число, запоминать и демонстрировать его. Но для выполнения этих функций не нужно было бы такое разнообразие цифровых устройств. Самое главное что должно уметь выполнять цифровое устройство — это выполнять операции над числами, которые оно принимает на свой вход и на выходе получать какой то результат.

Существует великое множество операций над числами, но в цифровой электронике этих основных операций всего три — это логическое умножение, логическое сложение и логическое отрицание.

1. Логическое умножение (функция «И»). Как же будет зависеть результат на выходе от входных данных? Мы привыкли употреблять союз И так, что слова которые он объединяет понимаются, как неразрывное целое. Например, пусть даны два простых выражения.Володя принёс молоток — А;Володя принёс стамеску — В.
Составим их логическое произведение.Володя принёс молоток И Володя принёс стамеску — (АВ).
Истинным такое высказывание будет только при условии, что Володя принёс оба предмета (А = 1, В = 1). Зависимость истинности логического произведения от сомножителей можно задать таблицей, называемой таблицей истинности:

A	B	AB
1	1	1
1
1

2. Логическое сложение (функция «ИЛИ»). Воспользовавшись нашими высказываниями:
Володя принёс молоток — А;Володя принёс стамеску — В.
Составим их логическую сумму.Володя принёс молоток ИЛИ Володя принёс стамеску — (А + В).

Ясно, что ложным такое высказывание будет при условии, что Володя не принёс ни одного из предметов, а истинным когда есть хотя бы один из них. Таблица истинности в таком случае будет следующей:

A	B	A + B
1	1	1
1	1
1	1

3. Логическое отрицание (функция «НЕ»). Указание совершить операцию отрицания на высказыванием А записывается так: А. Ясно, что если данное высказывание истинно, то его отрицание ложно и наоборот.

Солнце всходит на востоке (А = 1); Солнце не всходит на востоке (А = 0).

Таблица истинности будет такой:

A	А
1
1

Синтез и анализ работы цифровых схем на логических элементах и интегральных микросхемах

В большинстве случаев цифровая схема содержит большое количество последовательно соединенных логических элементов, которые реализуют требуемую логическую функцию. Процедуру определения логических операций, которые производит каждый логический элемент в схеме в отдельности и какую функцию выполняет структура элементов схемы в целом, называют анализом схемы. Для описания любой цифровой схемы могут быть составлены таблица истинности, логическая функция или диаграмма работы.

Таблица истинности цифровой схемы

В качестве примера составим таблицу истинности для цифровой схемы с двумя входами (Рис. 9).

Рисунок 9 – Цифровая схема с двумя входами

Цифровая схема с двумя входами (А, В) имеет 4 варианта комбинаций входных сигналов: 00, 01, 10 и 11 (22 = 4), которые определяют значение выходного сигнала Z. Первый элемент схемы является элементом НЕ. На выходе этого элемента будет инвертированное значение входного сигнала А.

Второй элемент схемы является элементом 2И. Обозначим выход этого элемента как Р. На выходе Р элемента 2И будет логическое произведение сигналов А и В.

Третий элемент схемы является элементом НЕ. На выходе этого элемента будет инвертированное значение сигнала Р. В зависимости от комбинаций входных сигналов на выходах элементов получим значения, которые заносим в таблицу истинности цифровой схемы.

Таблица 1 – Таблица истинности узлов цифровой схемы с двумя входами

Цифровая схема с тремя входами (А, В и С) имеет 8 различных комбинаций входных сигналов: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111 (23 = 8). Цифровая схема с четырьмя входами (А, В, С и D) имеет 16 различных комбинаций входных сигналов: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 (24 = 16).

Синтез схемы по заданному логическому выражению

На практике часто требуется синтезировать схему по заданному логическому выражению. Синтезируем цифровую схему, работа которой описывается логическим выражением F = A+B+C +(A+C).

Определим количество входных сигналов. Из логического выражения видно, что входными сигналами являются сигналы А, В и С, т. е. схема будет иметь три входа. Схемотехническая реализация логического выражения пошагово показана в таблице 2.

Таблица 2 – Пошаговое изменение логического выражения

Цифровая схема, реализующая заданное логическое выражение, представлена на рисунке 10.

Рисунок 10 – Цифровая схема, реализующая логическое выражение

Для схемотехнической реализации логической суммы сигналов на шаге 3 можно использовать два ЛЭ ИЛИ с двумя входами вместо одного ЛЭ с тремя входами. Такое использование более экономично, т. к. используется полностью корпус ИС с двухвходовыми ЛЭ ИЛИ (4 ЛЭ в корпусе) и не требуется корпус ИС с ЛЭ на три входа (3 ЛЭ в корпусе), в котором 2 ЛЭ останутся неиспользованными.

Цифровая схема, реализующая такое схемотехническое решение, представлена на рисунке 11.

Рисунок 11 – Цифровая схема

Существуют логические элементы в микросхемном исполнении, представляющие комбинацию ранее рассмотренных элементов и позволяющие осуществлять более сложные логические операции. К основным параметрам логических элементов (логических микросхем) относятся: функциональные возможности элемента; быстродействие; потребляемая мощность; помехоустойчивость.

Просмотров:
17

Простейшие логические схемы

Реализацию логических выражений можно осуществить с помощью простых электронных схем, на входы которых поступают электрические входные сигналы, а на выходе формируется выходной сигнал, который соответствует логической функции.

1. Логический элемент И. Представляет собой схему, в которой сигнал 1 на выходе появляется только тогда, когда на входе А и входе В совпадают сигналы 1. Простейший логический элемент И может быть реализован на последовательно включённых контактах реле, управляемых с помощью кнопок.

Релейно-контактная схема элемента И

Условное обозначение логического элемента И с двумя входами показано ниже. На выходе логического элемента И сигнал 1 появится только тогда, когда на всех входах совпадут сигналы 1.

Условное графическое изображение логического элемента И

2. Логический элемент ИЛИ. Представляет собой схему, на выходе которой появляется сигнал 1, если на входе А или входе В или на обоих входах присутствует сигнал 1. Простейший логический элемент ИЛИ может быть реализован на параллельно включённых контактах реле, управляемых с помощью кнопок.

Релейно-контактная схема элемента ИЛИ

Условное обозначение логического элемента ИЛИ с двумя входами показано ниже. На выходе логического элемента ИЛИ сигнал 1 появится в случае появления хотя бы на одном из входов сигнала 1.

Условное графическое изображение логического элемента ИЛИ

3. Логический элемент НЕ. Представляет собой схему, на выходе А которой появляется сигнал 1 при отсутствии на входе А сигнала 1. Простейший логический элемент НЕ реализован на реле с нормально замкнутыми контактами.

Релейно-контактная схема элемента НЕ

Условное обозначение логического элемента НЕ показано ниже. На выходе логического элемента НЕ сигнал 1 появится в случае отсутствия сигнала 1 на входе

Условное графическое изображение логического элемента НЕ

Логические элементы И, ИЛИ и не предназначены для выполнения трёх основных операций цифровой логики над дискретными сигналами. С помощью этих элементов можно реализовать логические операции любой сложности. Поэтому эти элементы называются основными.

Теория это хорошо, но необходимо отрабатывать это всё практически ПОПРОБЫВАТЬ МОЖНО ЗДЕСЬ

3.4. Что такое логический элемент компьютера

Логический элемент компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ,
И—НЕ, ИЛИ—НЕ и другие (называемые также вентилями), а также
триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую
работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и
один или два выхода.

Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях,
соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных
уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий —
значению “ложь” (“0”).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое
выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная
схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических
схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Логический элемент НЕ (Hex Inverters)

Начнём с наиболее простого из логических элементов – логического элемента НЕ

(INV) или как его ещё называют инвертора. Как понятно из названия инвертор применяется для инвертирования, то есть изменения уровня сигнала (например, на вход поступает логическая «1», а на выходе получаем логический «0»). Как самый простой из логических элементов инвертор содержит всего один вход и один выход. Инверторы могут быть с тремя типами выходов:2С, ОК или с Z – состоянием . Как указывалось в этой статье логический элемент НЕ имеет следующую таблицу истинности: Таблица истинности логического элемента НЕ

Вход	Выход
1
1

На принципиальных схемах логические элементы НЕ (инверторы) имеют следующее обозначение

Обозначения логических элементов НЕ (Hex Inverters): ANSI (слева) и DIN (справа).

Микросхемы инверторов содержат обычно шесть логических элементов НЕ (INV) и обозначаются префиксом ЛН

(например, К155ЛН1, К561ЛН2). Как говорилось ранее, дляТТЛ микросхем с выходом ОК необходим выходной нагрузочный резистор (pull-up). Величина которого рассчитывается очень просто:R > U/IOL , где U – напряжение источника питания, к которому подключается резистор.

Логический элемент «И-НЕ»

Показана схема на рис. 5 а. Здесь диод Д3 выполняет роль так сказать фильтра во избежание искажения сигнала. Если на вход х1 или х2 не подан сигнал (х1=0 или х2=0), то через диод Д1 или Д2 будет протекать ток. Падение на нем не равно нулю и может оказаться достаточным для открытия транзистора. Последствием чего может стать ложное срабатывание и на выходе вместо единицы мы получим ноль. А если в цепь включить Д3, то на нем упадет значительная часть напряжения открытого на входе диода, и на базу транзистора практически ничего не приходит. Поэтому он будет закрыт, а на выходе будет единица, что и требуется при наличии нуля на каком либо из входов. На рис. 5б и в показаны таблица истинности и схемное обозначение данного устройства.

Рис.5

Логические элементы получили широчайшее применение в электронике и микропроцессорной технике. Многие системы управления строятся с использованием именно этих устройств.

Цифровая схема

Типичная цифровая схема состоит из входов, выходов и логических элементов, также называемых вентилями. Сигналы поступают на входы схемы, преобразуются по определенным правилам внутри вентилей (об этом чуть ниже) и подаются на выходы.

В комбинационных схемах состояние сигналов на выходе зависит только от состояния на входе. В последовательностных схемах выход зависит не только от входа, но еще и от внутреннего состояния схемы

В любом случае важно понимать, что сигналы на выходе зависят от входа, не наоборот

В этой статье мы будем рассматривать только комбинационные схемы. Они проще для понимания и наглядней. Кстати, в отечественной литературе нет устоявшегося перевода для последовательностных схем. Кто-то называет их последовательными, кто-то предпочитает кальку с английского языка и использует термин «секвенциальные схемы» (sequential). Разницы нет никакой, но все равно учти это, когда будешь читать дополнительные источники.

Логические схемы «ИЛИ» на диодах

Моделью схемы ИЛИ может служить цепь, изображенная на рис. 4, а. Лампа загорится, если замкнуты контакты Р1, «ИЛИ» Р2, «ИЛИ» Р3. 

Рис. 4. Схема ИЛИ на диодах

На выходе схемы ИЛИ возникает сигнал 1, если такой же сигнал подан на один или несколько входов. Схема ИЛИ является схемой сборки (информации); по какому бы каналу ни пришел сигнал 1, он появляется на выходе. Схема ИЛИ осуществляет логическое сложение, что подтверждается выражением:

Действительно, у = 0 при х1 = х2 = … = хn = 0; у = 1, если на одном входе возникает сигнал 1, а на всех других — сигнал 0; у = 1 при х1 = х2 = … = xn = 1 (следует помнить, что у и х могут иметь только два значения 1 или 0). Логическое сложение носит название дизъюнкции, поэтому схему можно назвать дизъюнктором.

Схема ИЛИ может быть собрана на диодах в варианте для положительной логики (Рис. 4, б) и для отрицательной логики (рис. 4, в). Принципы действия этих схем и логических схем И на диодах ничем не отличаются. При перемене уровня сигналов 1 и 0 схема ИЛИ может выполнять функции схемы И.

Базовые блоки

Все цифровые схемы сводятся к нескольким стандартным логическим элементам. Это примерно как кубики Lego в детском конструкторе. Их можно комбинировать, соединять друг с другом и получать новые схемы. Для каждого элемента я привел таблицу истинности — соответствие между входными и выходными сигналами.

Существуют еще диаграммы Венна, но, на мой взгляд, они совершенно лишние и только осложняют дело. Впрочем, если ты предпочитаешь графическое представление, то можешь ознакомиться и с ними.

NOT

Самый простой вентиль, представляет собой логическое отрицание и инвертирует сигнал на единственном входе. Так как у нас всего два возможных состояния, таблица истинности совсем крохотная. В С/C++ это оператор
!, хотя там его действие распространяется на любые переменные с числовым значением, не только бинарные.

Обрати внимание, что на рисунке выше (и на всех последующих) приведены два символа для обозначения конкретного элемента на схемах. Слева — американский вариант (ANSI), справа — его европейский аналог (МЭК и ГОСТ)

Второй стандарт сейчас уже редко где применяется, и даже в русскоязычной литературе почти всегда используется графически более наглядный стандарт ANSI.

AND

Сигнал на выходе этого вентиля равен логической единице только тогда, когда на всех входах присутствует высокий уровень. При этом количество входов может быть любым — таблица истинности изменится незначительно. Кроме того, ничто не мешает каскадировать такие элементы, подавая выход одного вентиля
AND на вход другого.

Традиционно таблица рисуется именно таким образом: сперва все входы находятся в состоянии логического ноля, а затем последовательно инвертируется один из разрядов, начиная с младшего. Можно смотреть на это и с другой стороны — как будто все входы кодируют какое-то число (в двоичном представлении) и в каждой строке мы прибавляем к нему по единичке, проходя все возможные значения.

В С/С++ существует аж два аналога для этого вентиля: булево И (оператор &) и логическое И (оператор &&). Первый применяется для проверки флагов и других операций над отдельными битами числа, тогда как второй используется в логических выражениях.

OR

Здесь выход находится в состоянии логического ноля, только когда все входы равны нулю. Остальные комбинации приводят к высокому уровню на выходе.

Вместе
AND и
OR — это два основных строительных «кирпичика» цифровой логики. Сразу возникает вопрос, как их отличать друг от друга на схемах. Конечно, все решает практика, и со временем они запомнятся сами собой, но можно воспользоваться простым правилом: форма элемента со стороны входов соответствует первой букве в английском обозначении.

Так, округлость вентиля
OR напоминает очертания буквы O, а прямая линия элемента
AND явно позаимствована из буквы А. Звучит немного нелепо, но главное, что это работает.

Аналогично ситуации с
AND для вентиля
OR в языках программирования С/С++ используется булево ИЛИ (оператор
|) и логическое ИЛИ (оператор
||).

XOR

Наконец, последний из базовых элементов в нашем списке — функция исключающего ИЛИ (
XOR). На первый взгляд его таблица истинности выглядит странной, но легко запоминается — высокий уровень на выходе, только когда входы отличаются друг от друга. Однако не все так просто.

В общем случае (больше двух входов) этот вентиль реализует самую неочевидную функцию из числа рассмотренных: если на входах нет логических единиц или если их количество четное, то на выходе ноль, в любом другом случае — единица.

В C/C++ это оператор
^ и с ним связана забавная возможность обменять значения двух числовых переменных без участия временной переменной для промежуточного хранения (свойство самообратимости). И все в одной строчке:

1 2 3

intx,y; … x^=y^=x^=y;

Но вернемся к нашим вентилям. Иногда в их список добавляют также сочетания с
NOT:
NOT+AND=NAND,
NOT+OR=NOR и
NOT+XOR=XNOR. При желании можешь вывести их таблицы истинности самостоятельно, это не составляет никакого труда.

Битовые сдвиги

Основная статья: Битовый сдвиг

К битовым операциям также относят битовые сдвиги. При сдвиге значения битов копируются в соседние по направлению сдвига. Различают несколько видов сдвигов — логический

,арифметический ициклический , в зависимости от обработки крайних битов.

Также различают сдвиг влево

(в направлении от младшего бита к старшему) ивправо (в направлении от старшего бита к младшему). Логический сдвиг Арифметический сдвиг (правый) Циклический сдвиг Циклический сдвиг через перенос

Логический сдвиг

При логическом сдвиге значение последнего бита по направлению сдвига теряется (копируясь в бит переноса), а первый приобретает нулевое значение.

Арифметический сдвиг

Арифметический сдвиг аналогичен логическому, но число считается знаковым, представленным в дополнительном коде. Так, при правом сдвиге старший бит сохраняет своё значение. Левый арифметический сдвиг идентичен логическому.

Арифметические сдвиги влево и вправо используются для быстрого умножения и деления на 2.

Циклический сдвиг

При циклическом сдвиге, значение последнего бита по направлению сдвига копируется в первый бит (и копируется в бит переноса).

Также различают циклический сдвиг через бит переноса

— при нём первый бит по направлению сдвига получает значение из бита переноса, а значение последнего бита сдвигается в бит переноса.

Примеры основных логических элементов

На чипах с логической функцией выполняют основные операции:

• конъюнкция — умножение;
• дизъюнкция — сложение;
• инверсия — отрицание;
• сложение по модулю 2.

Логический элемент «И»

Микросхема «И» выполняет конъюнкцию над входной информацией. Элемент «И» имеет 2-8 входов и один выход.

Пример

Для микросхемы с двумя входами логическая единица на выходе возможна только при подаче на оба входа истинного значения. В иных случаях на выходе получится ноль.

Логический элемент «ИЛИ»

Действие сложения над входными данными выполняет элемент «ИЛИ». У этого устройства может быть 2 и более входов и лишь один выход.

Пример

У элемента «ИЛИ» с двумя входами высокий потенциал на выходе появится при подаче такой же величины на первый или второй вход, а также на оба входа одновременно.

Логический элемент «НЕ»

Операцию отрицания осуществляет элемент «НЕ». Поскольку он имеет по одному входу и выходу, его называют инвертором.

Для элемента «НЕ» характерно обращение входной информации. При подаче на вход логической единицы выйдет логический ноль, и наоборот, при подаче нуля выйдет единица.

Логический элемент «И-НЕ»

«И-НЕ» выполняет функцию отрицания результата конъюнкции. Название следует из принципа работы элемента: «И-НЕ» представляет собой элемент «И», который дополнен элементом «НЕ». Следовательно, «И-НЕ» осуществляет операцию, обратную для элемента «И».

Логический элемент «ИЛИ-НЕ»

Комбинация «ИЛИ-НЕ» выполняет операцию отрицания дизъюнкции. Данный элемент является противоположным элементу «ИЛИ», соответственно, значения входа и выхода для этих элементов тоже будут обратными друг другу.

Логический элемент «исключающий ИЛИ»

Элемент с функцией сложения по модулю 2 называется «исключающем ИЛИ», другое его название — «неравнозначность». Данная микросхема имеет два входа и один выход.

Истинное значение будет в случае разных сигналов на входах. Если на обоих входах будет высокий потенциал, на выходе получится низкий. При одновременной подаче низкого уровня сигнала на каждый вход на выходе также будет низкий уровень.